定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \tan^2 x dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \tan^2 x dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用して、被積分関数を変形します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \tan^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x (\sec^2 x - 1) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x dx$

ここで、部分積分 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いて、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = \sec^2 x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x dx = [x \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$= (\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 0 \tan 0) - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$= \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$t = \cos x$ とおくと、$dt = -\sin x dx$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{t} dt = -[\ln |t|]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = - (\ln \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln 1) = - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = - (\ln \sqrt{2} - \ln 2) = - (\frac{1}{2} \ln 2 - \ln 2) = \frac{1}{2} \ln 2$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

また、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{32}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \tan^2 x dx = (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - \frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^2}{32} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi^2}{32} - \frac{1}{2} \ln 2$