$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を倍角の公式を用いて変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x + x \cos 2x) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x dx$

第一項は簡単に計算できます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left(\frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} - 0\right) = \frac{\pi^2}{16}$

第二項は部分積分を用いて計算します。

$u = x$, $dv = \cos 2x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x dx = \left[x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x dx$

$= \left[\frac{x}{2} \sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$

$= \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2} \sin (\pi) - 0\right) - \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 0 - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos \pi - \left(-\frac{1}{2} \cos 0\right)\right)$

$= -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$

求める積分は

$\frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 - 4}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2 - 4}{16}$