放物線 $y=x^2-ax$ と $x$軸で囲まれた部分の面積が $\frac{4}{3}$ になるような定数 $a$ の値を求める。ただし、$a>0$とする。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2-ax$ と $x$軸で囲まれた部分の面積が $\frac{4}{3}$ になるような定数 $a$ の値を求める。ただし、$a>0$とする。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2-ax$ と $x$軸との交点を求める。

$y=x^2-ax=x(x-a)$ より、交点の$x$座標は $x=0$ および $x=a$ である。

$a>0$より、$0 \leq x \leq a$ において、$x^2-ax \leq 0$ である。

したがって、放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積は、

$$S = - \int_0^a (x^2-ax) dx$$

で表される。

これを計算する。

$$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2 \right]_0^a = -\left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 \right) = -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 = \frac{1}{6}a^3$$

問題文より、$S = \frac{4}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{6}a^3 = \frac{4}{3}$$

$$a^3 = \frac{4}{3} \times 6 = 8$$

$a$ は実数であるから、$a = \sqrt[3]{8} = 2$

$a>0$ の条件も満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 2$