与えられた積分 $\int x \cos 3x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \cos 3x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、$u = x$、 $dv = \cos 3x \, dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ であり、$v = \int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

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\int x \cos 3x \, dx = x \cdot \frac{1}{3} \sin 3x - \int \frac{1}{3} \sin 3x \, dx

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= \frac{1}{3} x \sin 3x - \frac{1}{3} \int \sin 3x \, dx

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$\int \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$ であるから、

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= \frac{1}{3} x \sin 3x - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{3} \cos 3x \right) + C

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= \frac{1}{3} x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x + C

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x + C$