放物線や直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x - 3$ と $y = -x^2 + 2x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) $y = x^2 - 2x + 1$ と $y = x^2 - 6x + 9$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求めます。

解析学積分面積放物線定積分
2025/8/14
はい、承知いたしました。問題文を読み解き、面積を計算します。

1. 問題の内容

放物線や直線で囲まれた部分の面積 SS を求める問題です。
(1) y=x2+2x3y = x^2 + 2x - 3y=x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3 で囲まれた部分の面積を求めます。
(2) y=x22x+1y = x^2 - 2x + 1y=x26x+9y = x^2 - 6x + 9xx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
2つの放物線の交点を求めます。
x2+2x3=x2+2x+3x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 3
2x26=02x^2 - 6 = 0
x2=3x^2 = 3
x=±3x = \pm \sqrt{3}
したがって、交点の xx 座標は x=3,3x = -\sqrt{3}, \sqrt{3} です。
面積 SS は、定積分で求めることができます。
S=33[(x2+2x+3)(x2+2x3)]dxS = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} [(-x^2 + 2x + 3) - (x^2 + 2x - 3)] dx
S=33(2x2+6)dxS = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (-2x^2 + 6) dx
S=[23x3+6x]33S = [- \frac{2}{3} x^3 + 6x]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}
S=(23(33)+63)(23(33)63)S = (- \frac{2}{3} (3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3}) - (- \frac{2}{3} (-3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3})
S=23+63(23+63)S = -2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 6\sqrt{3})
S=43+43=83S = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}
(2)
y=x22x+1=(x1)2y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
y=x26x+9=(x3)2y = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2
2つの放物線の交点を求めます。
(x1)2=(x3)2(x-1)^2 = (x-3)^2
x22x+1=x26x+9x^2 - 2x + 1 = x^2 - 6x + 9
4x=84x = 8
x=2x = 2
それぞれの放物線と xx 軸との交点を求めます。
y=(x1)2y = (x-1)^2x=1x=1xx 軸と接する。
y=(x3)2y = (x-3)^2x=3x=3xx 軸と接する。
求める面積は
S=12(x1)2dx23(x3)2dxS = \int_{1}^{2} (x-1)^2 dx - \int_{2}^{3} (x-3)^2 dx
S=[13(x1)3]12[13(x3)3]23S = [\frac{1}{3} (x-1)^3]_{1}^{2} - [\frac{1}{3} (x-3)^3]_{2}^{3}
S=(13(1)313(0)3)(13(0)313(1)3)S = (\frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{3} (0)^3) - (\frac{1}{3} (0)^3 - \frac{1}{3} (-1)^3)
S=1313S = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}
S=13+13=23S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

3. 最終的な答え

(1) 838\sqrt{3}
(2) 23\frac{2}{3}

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