与えられた関数 $y = a\sin x + \cos 2x + a + 2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $\cos 2x$ を $\sin x$ で表す。 (2) $t = \sin x$ とおいたときの $t$ の取りうる値の範囲を求める。また、$y$ を $t$ で表す。 (3) $y$ の最小値を求める。 (4) $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = a\sin x + \cos 2x + a + 2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $\cos 2x$ を $\sin x$ で表す。

(2) $t = \sin x$ とおいたときの $t$ の取りうる値の範囲を求める。また、$y$ を $t$ で表す。

(3) $y$ の最小値を求める。

(4) $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x$ を $\sin x$ で表す。

三角関数の2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を利用します。

したがって、$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ となります。

(2) $t = \sin x$ とおくと、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \leq t \leq 1$ です。

$y$ を $t$ で表します。

$y = a\sin x + \cos 2x + a + 2$

$y = at + (1 - 2\sin^2 x) + a + 2$

$y = at + 1 - 2t^2 + a + 2$

$y = -2t^2 + at + a + 3$

$y = -2(t^2 - \frac{a}{2}t) + a + 3$

$y = -2(t - \frac{a}{4})^2 + 2(\frac{a}{4})^2 + a + 3$

$y = -2(t - \frac{a}{4})^2 + \frac{a^2}{8} + a + 3$

(3) $y$ の最小値を求める。

$t$ の定義域は $-1 \leq t \leq 1$ であることを考慮する。

$y$ は上に凸な二次関数なので、軸 $t = \frac{a}{4}$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けが必要になる。

(i) $\frac{a}{4} \leq -1$ つまり $a \leq -4$ のとき。ただし、$a$ は正の定数なので、この場合は起こらない。

(ii) $-1 \leq \frac{a}{4} \leq 1$ つまり $-4 \leq a \leq 4$ のとき。ただし、$a$ は正の定数なので、$0 < a \leq 4$ のとき。

このとき、$t = -1$ で最小値をとる。

$y_{min} = -2(-1)^2 + a(-1) + a + 3 = -2 - a + a + 3 = 1$

(iii) $\frac{a}{4} \geq 1$ つまり $a \geq 4$ のとき。

このとき、$t = 1$ で最小値をとる。

$y_{min} = -2(1)^2 + a(1) + a + 3 = -2 + a + a + 3 = 2a + 1$

$0 < a \leq 4$ のとき、最小値は1。

$a > 4$ のとき、最小値は $2a+1$。

問題文から、$y$ の最小値は一つの値で表されることが期待されるので、$0 < a \leq 4$ の範囲を考える。最小値は$1$。

(4) $y$ の最大値を求める。

$t$ の定義域は $-1 \leq t \leq 1$ であり、$y = -2(t - \frac{a}{4})^2 + \frac{a^2}{8} + a + 3$ である。

(i) $0 < a \leq 2$ のとき、軸 $t = \frac{a}{4}$ は $-1 \leq t \leq 1$ に含まれ、$t = \frac{a}{4}$ で最大値をとる。

$y_{max} = \frac{a^2}{8} + a + 3$

(ii) $a > 2$ のとき、$t=1$で最大値をとる。

$y_{max} = -2(1 - \frac{a}{4})^2 + \frac{a^2}{8} + a + 3 = -2(1 - \frac{a}{2} + \frac{a^2}{16}) + \frac{a^2}{8} + a + 3 = -2 + a - \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{8} + a + 3 = 2a + 1$

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 2

(2) ウエ: -1, オ: 1, カキ: -2, ク: a, ケ: 4, コ: 1, サ: 8, シ: 3

(3) ス: 1

(4) セ: 2, ソ: 1, タ: 8, チ: 3, ツ: 2, テ: 1