与えられた数式の極限を $n$ が無限大に近づくときに求める問題です。数式は $\frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{n+2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の極限を $n$ が無限大に近づくときに求める問題です。数式は $\frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{n+2}}$ です。

2. 解き方の手順

$n$が無限大に近づくときの極限を求めるには、分子と分母をそれぞれ$n$で割ります。

まず、分子と分母を $\sqrt{n}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n(3+\frac{1}{n})}}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})}} = \frac{\sqrt{n} \sqrt{3+\frac{1}{n}}}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{2}{n}}} = \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}$

$n$が無限大に近づくと、$\frac{1}{n}$ と $\frac{2}{n}$ は 0 に近づきます。

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{n+2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}} = \frac{\sqrt{3+0}}{\sqrt{1+0}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$