$n \to \infty$ のとき、以下の数列の収束・発散を調べ、収束する場合はその極限値を求めます。 (1) $\frac{n^3 - 4n}{5n^3 + 2}$ (2) $\frac{2n^2}{1 - 3n}$ (3) $(\frac{1}{2})^n + (-2)^n$ (4) $\frac{4 - 3^n}{2^n + 3^n}$ (5) $\frac{\sqrt{3n + 1}}{\sqrt{n + 2}}$ (6) $n - \sqrt{n^2 - 2n}$ (7) $\frac{\sin 5n}{n}$ (8) $\log_2(2n + 3) - \log_2 n$

1. 問題の内容

$n \to \infty$ のとき、以下の数列の収束・発散を調べ、収束する場合はその極限値を求めます。

(1) $\frac{n^3 - 4n}{5n^3 + 2}$

(2) $\frac{2n^2}{1 - 3n}$

(3) $(\frac{1}{2})^n + (-2)^n$

(4) $\frac{4 - 3^n}{2^n + 3^n}$

(5) $\frac{\sqrt{3n + 1}}{\sqrt{n + 2}}$

(6) $n - \sqrt{n^2 - 2n}$

(7) $\frac{\sin 5n}{n}$

(8) $\log_2(2n + 3) - \log_2 n$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{n^3 - 4n}{5n^3 + 2} = \frac{1 - \frac{4}{n^2}}{5 + \frac{2}{n^3}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{4}{n^2} \to 0$、$\frac{2}{n^3} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 4n}{5n^3 + 2} = \frac{1 - 0}{5 + 0} = \frac{1}{5}$

(2)

$\frac{2n^2}{1 - 3n} = \frac{2n}{\frac{1}{n} - 3}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であるから、分母は $-3$ に近づき、分子は $\infty$ に発散するため、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{1 - 3n} = -\infty$

(3)

$(\frac{1}{2})^n + (-2)^n$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{1}{2})^n \to 0$ であり、$(-2)^n$ は振動して発散するため、

$\lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{2})^n + (-2)^n]$ は発散する。

(4)

$\frac{4 - 3^n}{2^n + 3^n} = \frac{\frac{4}{3^n} - 1}{(\frac{2}{3})^n + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{4}{3^n} \to 0$、$(\frac{2}{3})^n \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4 - 3^n}{2^n + 3^n} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

(5)

$\frac{\sqrt{3n + 1}}{\sqrt{n + 2}} = \sqrt{\frac{3n + 1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$、$\frac{2}{n} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n + 1}}{\sqrt{n + 2}} = \sqrt{\frac{3 + 0}{1 + 0}} = \sqrt{3}$

(6)

$n - \sqrt{n^2 - 2n} = \frac{(n - \sqrt{n^2 - 2n})(n + \sqrt{n^2 - 2n})}{n + \sqrt{n^2 - 2n}} = \frac{n^2 - (n^2 - 2n)}{n + \sqrt{n^2 - 2n}} = \frac{2n}{n + \sqrt{n^2 - 2n}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} [n - \sqrt{n^2 - 2n}] = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

(7)

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin 5n}{n} \leq \frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin 5n}{n} = 0$

(8)

$\log_2(2n + 3) - \log_2 n = \log_2 \frac{2n + 3}{n} = \log_2 (2 + \frac{3}{n})$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} [\log_2(2n + 3) - \log_2 n] = \log_2 (2 + 0) = \log_2 2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 収束、極限値: $\frac{1}{5}$

(2) 発散

(3) 発散

(4) 収束、極限値: $-1$

(5) 収束、極限値: $\sqrt{3}$

(6) 収束、極限値: $1$

(7) 収束、極限値: $0$

(8) 収束、極限値: $1$