2つの定積分の問題を解きます。 (9) $\int_{e}^{e^4} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ (10) $\int_{1}^{2} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

2つの定積分の問題を解きます。

(9) $\int_{e}^{e^4} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$

(10) $\int_{1}^{2} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(9) の問題を解きます。

まず、置換積分を行います。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=e$ のとき $u = \log e = 1$ であり、$x=e^4$ のとき $u = \log e^4 = 4$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^2} du$

これは簡単に積分できます。

$\int_{1}^{4} u^{-2} du = [-u^{-1}]_{1}^{4} = [-\frac{1}{u}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

次に、(10) の問題を解きます。

$u = e^x - e^{-x}$ とおくと、$du = (e^x + e^{-x}) dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $u = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$ であり、$x=2$ のとき $u = e^2 - e^{-2} = e^2 - \frac{1}{e^2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{e-\frac{1}{e}}^{e^2-\frac{1}{e^2}} \frac{1}{u} du$

これは簡単に積分できます。

$\int_{e-\frac{1}{e}}^{e^2-\frac{1}{e^2}} \frac{1}{u} du = [\log |u|]_{e-\frac{1}{e}}^{e^2-\frac{1}{e^2}} = \log(e^2-\frac{1}{e^2}) - \log(e-\frac{1}{e}) = \log(\frac{e^2-\frac{1}{e^2}}{e-\frac{1}{e}}) = \log(e+\frac{1}{e})$

3. 最終的な答え

(9) の答え: $\frac{3}{4}$

(10) の答え: $\log(e+\frac{1}{e})$