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$\int \sin x \cos^4 x \, dx$ を計算する問題です。

解析学積分置換積分三角関数
2025/8/14

1. 問題の内容

∫sin⁡xcos⁡4x dx\int \sin x \cos^4 x \, dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。
u=cos⁡xu = \cos x と置くと、dudx=−sin⁡x\frac{du}{dx} = -\sin x より du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx となります。したがって、sin⁡x dx=−du\sin x \, dx = -du です。
与えられた積分は、
∫sin⁡xcos⁡4x dx=∫(cos⁡x)4sin⁡x dx=∫u4(−du)=−∫u4 du\int \sin x \cos^4 x \, dx = \int (\cos x)^4 \sin x \, dx = \int u^4 (-du) = - \int u^4 \, du
となります。
∫u4 du=u55+C\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C なので、
−∫u4 du=−u55+C- \int u^4 \, du = - \frac{u^5}{5} + C
となります。
ここで、u=cos⁡xu = \cos x を代入すると、
−(cos⁡x)55+C=−cos⁡5x5+C- \frac{(\cos x)^5}{5} + C = - \frac{\cos^5 x}{5} + C
となります。

3. 最終的な答え

−cos⁡5x5+C- \frac{\cos^5 x}{5} + C

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