与えられた定積分を計算する問題です。ここでは、問題(12) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。ここでは、問題(12) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、積分区間を $|x-1|$ の符号が変わる点で分割します。

$x-1 = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。したがって、積分区間を $0 \leq x \leq 1$ と $1 \leq x \leq 3$ に分割します。

$0 \leq x \leq 1$ のとき、$x-1 \leq 0$ なので、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ です。

$1 \leq x \leq 3$ のとき、$x-1 \geq 0$ なので、 $|x-1| = x-1$ です。

したがって、

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{3} (x-1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = [x - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{3} (x-1) dx = [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^{3} = (\frac{1}{2}(3^2) - 3) - (\frac{1}{2}(1^2) - 1) = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

よって、

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$