与えられた定積分を計算する問題です。問題には、6から13までの番号が振られた8つの定積分が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。問題には、6から13までの番号が振られた8つの定積分が含まれています。

2. 解き方の手順

各定積分を個別に計算します。

積分を実行し、積分範囲の上限と下限を代入し、結果の差を計算します。

絶対値を含む積分については、被積分関数が正または負になる区間を特定し、積分範囲を分割して、それぞれの区間で符号を考慮して積分を行います。

(6) $\int_0^2 (x^3 - 2) dx = [\frac{x^4}{4} - 2x]_0^2 = (\frac{2^4}{4} - 2(2)) - (\frac{0^4}{4} - 2(0)) = (4 - 4) - 0 = 0$

(7) $\int_{-1}^3 (y^3 - 3y^2) dy = [\frac{y^4}{4} - y^3]_{-1}^3 = (\frac{3^4}{4} - 3^3) - (\frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3) = (\frac{81}{4} - 27) - (\frac{1}{4} + 1) = \frac{81 - 108}{4} - \frac{1 + 4}{4} = \frac{-27}{4} - \frac{5}{4} = \frac{-32}{4} = -8$

(8) $\int_{-\frac{1}{2}}^1 (x-1)(2x+1) dx = \int_{-\frac{1}{2}}^1 (2x^2 - x - 1) dx = [\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x]_{-\frac{1}{2}}^1 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1) - (\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) - (-\frac{1}{2})) = (\frac{4 - 3 - 6}{6}) - (-\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = -\frac{5}{6} - (\frac{-2-3+12}{24}) = -\frac{5}{6} - \frac{7}{24} = \frac{-20-7}{24} = -\frac{27}{24} = -\frac{9}{8}$

(9) $\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (x^2 - 2x - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2 - x]_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} = (\frac{(1+\sqrt{2})^3}{3} - (1+\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})) - (\frac{(1-\sqrt{2})^3}{3} - (1-\sqrt{2})^2 - (1-\sqrt{2}))$

$= \frac{(1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2})-(1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2})}{3} - (1+2\sqrt{2}+2-1+2\sqrt{2}-2) - (1+\sqrt{2}-(1-\sqrt{2})) = \frac{10\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \frac{10\sqrt{2}-12\sqrt{2}-6\sqrt{2}}{3} = \frac{-8\sqrt{2}}{3}$

(10) $\int_{-2}^2 (x^5 + 2x^3 + x^2) dx = [\frac{x^6}{6} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}]_{-2}^2 = (\frac{2^6}{6} + \frac{2^4}{2} + \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-2)^6}{6} + \frac{(-2)^4}{2} + \frac{(-2)^3}{3}) = (\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + \frac{8}{3}) - (\frac{64}{6} + \frac{16}{2} - \frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$

(11) $\int_{-1}^1 (x^2 - 3x + 2) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_{-1}^1 = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{-1}{3} - \frac{3}{2} - 2) = \frac{2}{3} + 4 = \frac{14}{3}$

(12) $\int_0^3 |x-1| dx = \int_0^1 (1-x) dx + \int_1^3 (x-1) dx = [x-\frac{x^2}{2}]_0^1 + [\frac{x^2}{2}-x]_1^3 = (1-\frac{1}{2}) - 0 + (\frac{9}{2}-3) - (\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

(13) $\int_0^3 |x^2 - 2x| dx = \int_0^2 (2x - x^2) dx + \int_2^3 (x^2 - 2x) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 + [\frac{x^3}{3} - x^2]_2^3 = (4 - \frac{8}{3}) - 0 + (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = \frac{4}{3} + 0 - (\frac{8}{3}-4) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(6) 0

(7) -8

(8) -9/8

(9) -8√2/3

(10) 16/3

(11) 14/3

(12) 5/2

(13) 8/3