与えられた5つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。 (1) $\int dx$ (2) $\int t^3 dt$ (3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$ (4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$ (5) $\int (2y+1)^3 dy$

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。

(1) $\int dx$

(2) $\int t^3 dt$

(3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$

(4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$

(5) $\int (2y+1)^3 dy$

2. 解き方の手順

(1) $\int dx$

$x$ の関数 $1$ を積分します。

$\int dx = x + C$

(2) $\int t^3 dt$

$t^3$ を積分します。

$\int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + C$

(3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$

多項式を積分します。

$\int (2x^4 + x - 3) dx = \int 2x^4 dx + \int x dx - \int 3 dx$

$= 2\int x^4 dx + \int x dx - 3\int dx$

$= 2\frac{x^5}{5} + \frac{x^2}{2} - 3x + C$

$= \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3x + C$

(4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$

まず積分する関数を展開します。

$(x+3)(2-x^2) = 2x - x^3 + 6 - 3x^2$

$\int (x+3)(2-x^2) dx = \int (2x - x^3 + 6 - 3x^2) dx$

$= \int 2x dx - \int x^3 dx + \int 6 dx - \int 3x^2 dx$

$= 2\int x dx - \int x^3 dx + 6\int dx - 3\int x^2 dx$

$= 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + 6x - 3\frac{x^3}{3} + C$

$= x^2 - \frac{x^4}{4} + 6x - x^3 + C$

$= -\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 6x + C$

(5) $\int (2y+1)^3 dy$

置換積分をします。$u = 2y+1$ と置くと $du = 2dy$ なので $dy = \frac{1}{2} du$

$\int (2y+1)^3 dy = \int u^3 \frac{1}{2} du$

$= \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} u^4 + C$

$= \frac{1}{8}(2y+1)^4 + C$

3. 最終的な答え

(1) $x + C$

(2) $\frac{t^4}{4} + C$

(3) $\frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3x + C$

(4) $-\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 6x + C$

(5) $\frac{1}{8}(2y+1)^4 + C$