3次関数 $y = x^3 + 1$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = 2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 + 1$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = 2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

求める面積は、関数 $y = x^3 + 1$ を $x = 0$ から $x = 2$ まで積分することで求められます。

まず、不定積分を計算します。

$\int (x^3 + 1) dx = \frac{1}{4}x^4 + x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_0^2 (x^3 + 1) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x \right]_0^2$

$= \left(\frac{1}{4}(2)^4 + 2\right) - \left(\frac{1}{4}(0)^4 + 0\right)$

$= \frac{1}{4} \times 16 + 2$

$= 4 + 2$

$= 6$

3. 最終的な答え

6