関数 $y = 4 - x^2$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分に内接する長方形 ABCD があります。辺 BC は $x$ 軸上にあり、OC = $a$ とします。 (1) CD の長さを $a$ で表します。 (2) 長方形の面積 S を $a$ で表します。 (3) S の最大値を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

関数 $y = 4 - x^2$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分に内接する長方形 ABCD があります。辺 BC は $x$ 軸上にあり、OC = $a$ とします。

(1) CD の長さを $a$ で表します。

(2) 長方形の面積 S を $a$ で表します。

(3) S の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) CD の長さを求める

点 D は関数 $y = 4 - x^2$ 上にあり、その $x$ 座標は $a$ です。したがって、点 D の $y$ 座標は $4 - a^2$ です。CD は長方形 ABCD の縦の長さなので、CD = $4 - a^2$ となります。

(2) S を $a$ で表す

長方形 ABCD の横の長さ BC は、OC = $a$、OB = $a$ なので、BC = 2$a$ です。

長方形の面積 S は、S = BC * CD で求められます。

したがって、S = 2$a$ * $(4 - a^2)$ = $8a - 2a^3$ となります。

(3) S の最大値を求める

S = $8a - 2a^3$ を $a$ で微分します。

$\frac{dS}{da} = 8 - 6a^2$

$\frac{dS}{da} = 0$ となる $a$ を求めます。

$8 - 6a^2 = 0$

$6a^2 = 8$

$a^2 = \frac{4}{3}$

$a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$a > 0$ より、$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{d^2S}{da^2} = -12a$

$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\frac{d^2S}{da^2} = -12 * \frac{2\sqrt{3}}{3} = -8\sqrt{3} < 0$ であるため、$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ で S は最大値をとります。

S の最大値は、$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ を S = $8a - 2a^3$ に代入して計算します。

$S = 8 * \frac{2\sqrt{3}}{3} - 2 * (\frac{2\sqrt{3}}{3})^3$

$S = \frac{16\sqrt{3}}{3} - 2 * \frac{8 * 3\sqrt{3}}{27}$

$S = \frac{16\sqrt{3}}{3} - \frac{16\sqrt{3}}{9}$

$S = \frac{48\sqrt{3} - 16\sqrt{3}}{9} = \frac{32\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) CD = $4 - a^2$

(2) S = $8a - 2a^3$

(3) S の最大値 = $\frac{32\sqrt{3}}{9}$