$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理を適用すると、分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^{2x} - 1) = 2e^{2x}$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1}$

$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$ なので、$e^{2x} \to e^0 = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} 2e^{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

別の解き方として、$t = 2x$ と置換すると、$x = \frac{t}{2}$ となります。$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{\frac{t}{2}} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1$ であることを利用すると、

$2 \lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

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