$k$ を実数の定数とし、以下の $\theta$ の方程式と不等式について考える。 * $\tan \theta = k$ ...(1) * $2\cos \theta + 1 \ge 0$ ...(2) 以下の小問に答えよ。 (1) $k=1$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ において、(1)を解け。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ において、(2)を解け。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ における(1)の解は2個ある。その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めよ。 (4) (2)で求めた $\theta$ の値の範囲における(1)の解が、2個あるときを考える。その2個の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。 (i) $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (ii) $\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を実数の定数とし、以下の $\theta$ の方程式と不等式について考える。

* $\tan \theta = k$ ...(1)

* $2\cos \theta + 1 \ge 0$ ...(2)

以下の小問に答えよ。

(1) $k=1$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ において、(1)を解け。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ において、(2)を解け。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ における(1)の解は2個ある。その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めよ。

(4) (2)で求めた $\theta$ の値の範囲における(1)の解が、2個あるときを考える。その2個の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。

(i) $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(ii) $\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $k=1$ のとき、$\tan \theta = 1$ を解く。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$ である。

(2) $2\cos \theta + 1 \ge 0$ より $\cos \theta \ge -\frac{1}{2}$ 。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ の範囲は $\theta = \frac{2}{3}\pi$ と $\theta = \frac{4}{3}\pi$ を基準にして、$\theta \in [0, \frac{2}{3}\pi] \cup [\frac{4}{3}\pi, 2\pi)$ である。

(3) $\tan \theta = k$ の解が $0 \le \theta < 2\pi$ で2個存在するためには、$k$ は任意の実数でよい。

$\tan \theta = k$ の解を $\theta_1$, $\theta_2$ とすると、$\theta_2 = \theta_1 + \pi$ と表せる。

$\theta_1 + \theta_2 = \theta_1 + (\theta_1 + \pi) = 2\theta_1 + \pi = \frac{4}{3}\pi$ より $2\theta_1 = \frac{1}{3}\pi$, $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ 。

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

(4) (i) (2) より、$\theta$ の範囲は $[0, \frac{2}{3}\pi] \cup [\frac{4}{3}\pi, 2\pi)$ である。この範囲で $\tan \theta = k$ の解が2つ存在するためには、$k$ の範囲を調べる。

$\theta$ の範囲を考えると、$\tan \theta$ は $-\sqrt{3} \le k < 0$ または $0 \le k \le \sqrt{3}$ である。

(ii) $\tan \alpha = \tan \beta = k$ である。ここで $\alpha < \beta$ であり、$\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi$ である。

$\beta = \alpha + \pi$ であるから、$\alpha + (\alpha + \pi) = 2\alpha + \pi \ge \frac{7}{4}\pi$。

$2\alpha \ge \frac{3}{4}\pi$, $\alpha \ge \frac{3}{8}\pi$。

$\alpha \ge \frac{3}{8}\pi$ かつ $\alpha \le \frac{2}{3}\pi$ を満たす $\alpha$ が存在する必要がある。

$\alpha \ge \frac{3}{8}\pi$ より、$k = \tan \alpha \ge \tan \frac{3}{8}\pi = 1+\sqrt{2}$ は成立しない。

$\alpha \in [0, \frac{2}{3}\pi]$ の場合を考える。

$\alpha = \frac{3}{8}\pi$ のとき、$\tan \alpha = \tan \frac{3}{8}\pi = \sqrt{2}+1$

このとき条件は、$\sqrt{2}+1 \le k \le \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \le \theta < 2\pi$

(3) $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) (i) $-\sqrt{3} \le k < 0$ または $0 \le k \le \sqrt{3}$

(ii) 該当する $k$ は存在しない。