定積分 $\int_{-1}^{1}(x^2+ax+b)^2 dx$ の値を最小にするように、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1}(x^2+ax+b)^2 dx$ の値を最小にするように、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた積分を $I$ とおく。

$I = \int_{-1}^{1}(x^2+ax+b)^2 dx = \int_{-1}^{1}(x^4+a^2x^2+b^2+2ax^3+2bx^2+2abx) dx$

$= \int_{-1}^{1}(x^4+(a^2+2b)x^2+b^2+2ax^3+2abx) dx$

積分区間が $-1$ から $1$ なので、偶関数と奇関数の性質を利用する。

$x^4, x^2, b^2$ は偶関数、 $x^3, x$ は奇関数である。したがって、

$\int_{-1}^{1}x^4 dx = 2\int_{0}^{1}x^4 dx = 2\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2}{5}$

$\int_{-1}^{1}x^2 dx = 2\int_{0}^{1}x^2 dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$

$\int_{-1}^{1}b^2 dx = 2\int_{0}^{1}b^2 dx = 2[b^2x]_0^1 = 2b^2$

$\int_{-1}^{1}x^3 dx = 0$

$\int_{-1}^{1}x dx = 0$

$I = \int_{-1}^{1}x^4 dx + (a^2+2b)\int_{-1}^{1}x^2 dx + \int_{-1}^{1}b^2 dx + 2a\int_{-1}^{1}x^3 dx + 2ab\int_{-1}^{1}x dx$

$= \frac{2}{5} + (a^2+2b)\frac{2}{3} + 2b^2 + 2a(0) + 2ab(0)$

$= \frac{2}{5} + \frac{2}{3}a^2 + \frac{4}{3}b + 2b^2$

$= 2b^2 + \frac{4}{3}b + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{5}$

$I = 2(b^2 + \frac{2}{3}b) + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{5}$

$I = 2(b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{5}$

$I = 2(b+\frac{1}{3})^2 - \frac{2}{9} + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{5}$

$I = 2(b+\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{9}$

$I = 2(b+\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}a^2 + \frac{18-10}{45} = 2(b+\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}a^2 + \frac{8}{45}$

$I$ を最小にするには、$2(b+\frac{1}{3})^2 = 0$ かつ $\frac{2}{3}a^2 = 0$ であればよい。

したがって、$b = -\frac{1}{3}$ かつ $a=0$。

3. 最終的な答え

$a=0, b=-\frac{1}{3}$

答え: ②