2つの放物線 $C_1: y = 2x^2 - x$ と $C_2: y = -x^2 - 4x + 3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = 2x^2 - x$ と $C_2: y = -x^2 - 4x + 3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点の $x$ 座標を求めます。

$2x^2 - x = -x^2 - 4x + 3$ を解きます。

$3x^2 + 3x - 3 = 0$

$x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

交点の $x$ 座標を $\alpha = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$、$\beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ とします。

次に、定積分を計算します。

面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{(-x^2 - 4x + 3) - (2x^2 - x)\} dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-3x^2 - 3x + 3) dx$

$S = [-x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 3x]_{\alpha}^{\beta}$

$S = -(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{3}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + 3(\beta - \alpha)$

$\beta - \alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = \sqrt{5} (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}) = \sqrt{5} (-1) = -\sqrt{5}$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \beta \alpha + \alpha^2) = (\beta - \alpha) [(\beta + \alpha)^2 - \beta \alpha]$

$\beta + \alpha = -1$

$\alpha \beta = \frac{(-1 - \sqrt{5})(-1 + \sqrt{5})}{4} = \frac{1 - 5}{4} = -1$

$\beta^3 - \alpha^3 = \sqrt{5} [(-1)^2 - (-1)] = \sqrt{5} (1 + 1) = 2\sqrt{5}$

$S = -2\sqrt{5} - \frac{3}{2}(-\sqrt{5}) + 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5} + \frac{3}{2}\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = \frac{-4+3+6}{2}\sqrt{5} = \frac{5}{2}\sqrt{5} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$

したがって、$S = \frac{5\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{5}}{2}$