定積分 $\int_1^3 |3x^2 - 6x| \, dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^3 |3x^2 - 6x| \, dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 - 6x$ の符号が変わる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ となり、$3x^2 - 6x = 0$ を解くと $x=0$ または $x=2$ となります。

積分区間 $[1, 3]$ において、$3x^2 - 6x$ の符号は $x=2$ を境に変わります。

具体的には、$1 \le x < 2$ のとき $3x^2 - 6x < 0$ であり、$2 < x \le 3$ のとき $3x^2 - 6x > 0$ です。

したがって、積分区間を $[1, 2]$ と $[2, 3]$ に分割して計算します。

区間 $[1, 2]$ では $|3x^2 - 6x| = -(3x^2 - 6x) = -3x^2 + 6x$ なので、

$\int_1^2 |3x^2 - 6x| \, dx = \int_1^2 (-3x^2 + 6x) \, dx = [-x^3 + 3x^2]_1^2 = (-8 + 12) - (-1 + 3) = 4 - 2 = 2$

区間 $[2, 3]$ では $|3x^2 - 6x| = 3x^2 - 6x$ なので、

$\int_2^3 |3x^2 - 6x| \, dx = \int_2^3 (3x^2 - 6x) \, dx = [x^3 - 3x^2]_2^3 = (27 - 27) - (8 - 12) = 0 - (-4) = 4$

したがって、

$\int_1^3 |3x^2 - 6x| \, dx = \int_1^2 |3x^2 - 6x| \, dx + \int_2^3 |3x^2 - 6x| \, dx = 2 + 4 = 6$

3. 最終的な答え

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