2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 7$ と $y = -x^2 + 6x - 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 7$ と $y = -x^2 + 6x - 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めます。

$x^2 - 4x + 7 = -x^2 + 6x - 1$ を解きます。

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 1$ と $x = 4$ です。

次に、区間 $[1, 4]$ において、どちらの関数が大きいかを調べます。

例えば、$x = 2$ のとき、

$y_1 = 2^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$

$y_2 = -(2^2) + 6(2) - 1 = -4 + 12 - 1 = 7$

したがって、区間 $[1, 4]$ において、$y = -x^2 + 6x - 1$ の方が大きいです。

囲まれた図形の面積 $S$ は、2つの関数の差を積分することで求められます。

$S = \int_{1}^{4} [(-x^2 + 6x - 1) - (x^2 - 4x + 7)] dx$

$S = \int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) dx$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x \right]_{1}^{4}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(4^3) + 5(4^2) - 8(4) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1^3) + 5(1^2) - 8(1) \right)$

$S = \left( -\frac{128}{3} + 80 - 32 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 5 - 8 \right)$

$S = \left( -\frac{128}{3} + 48 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 3 \right)$

$S = -\frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3$

$S = -\frac{126}{3} + 51$

$S = -42 + 51$

$S = 9$

3. 最終的な答え

$S = 9$