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与えられた6つの定積分を計算する問題です。

解析学定積分積分計算
2025/8/13

1. 問題の内容

与えられた6つの定積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) ∫12(8x+1)dx\int_{1}^{2} (8x+1) dx
まず、積分を計算します。
∫(8x+1)dx=4x2+x+C\int (8x+1) dx = 4x^2 + x + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[4x2+x]12=(4(2)2+2)−(4(1)2+1)=(16+2)−(4+1)=18−5=13[4x^2 + x]_{1}^{2} = (4(2)^2 + 2) - (4(1)^2 + 1) = (16+2) - (4+1) = 18 - 5 = 13
(2) ∫−13(3x−7)dx\int_{-1}^{3} (3x-7) dx
まず、積分を計算します。
∫(3x−7)dx=32x2−7x+C\int (3x-7) dx = \frac{3}{2}x^2 - 7x + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[32x2−7x]−13=(32(3)2−7(3))−(32(−1)2−7(−1))=(272−21)−(32+7)=27−422−3+142=−152−172=−322=−16[\frac{3}{2}x^2 - 7x]_{-1}^{3} = (\frac{3}{2}(3)^2 - 7(3)) - (\frac{3}{2}(-1)^2 - 7(-1)) = (\frac{27}{2} - 21) - (\frac{3}{2} + 7) = \frac{27-42}{2} - \frac{3+14}{2} = \frac{-15}{2} - \frac{17}{2} = \frac{-32}{2} = -16
(3) ∫02(6x2+5x−1)dx\int_{0}^{2} (6x^2+5x-1) dx
まず、積分を計算します。
∫(6x2+5x−1)dx=2x3+52x2−x+C\int (6x^2+5x-1) dx = 2x^3 + \frac{5}{2}x^2 - x + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[2x3+52x2−x]02=(2(2)3+52(2)2−2)−(0)=(16+10−2)=24[2x^3 + \frac{5}{2}x^2 - x]_{0}^{2} = (2(2)^3 + \frac{5}{2}(2)^2 - 2) - (0) = (16 + 10 - 2) = 24
(4) ∫−13(x2−5x+2)dx\int_{-1}^{3} (x^2-5x+2) dx
まず、積分を計算します。
∫(x2−5x+2)dx=13x3−52x2+2x+C\int (x^2-5x+2) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[13x3−52x2+2x]−13=(13(3)3−52(3)2+2(3))−(13(−1)3−52(−1)2+2(−1))=(9−452+6)−(−13−52−2)=(15−452)−(−26−156−126)=30−452−−296=−152+296=−45+296=−166=−83[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{3} = (\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 2(3)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 + 2(-1)) = (9 - \frac{45}{2} + 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} - 2) = (15 - \frac{45}{2}) - (-\frac{2}{6} - \frac{15}{6} - \frac{12}{6}) = \frac{30-45}{2} - \frac{-29}{6} = -\frac{15}{2} + \frac{29}{6} = \frac{-45+29}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}
(5) ∫12(2t2−6t+4)dt\int_{1}^{2} (2t^2-6t+4) dt
まず、積分を計算します。
∫(2t2−6t+4)dt=23t3−3t2+4t+C\int (2t^2-6t+4) dt = \frac{2}{3}t^3 - 3t^2 + 4t + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[23t3−3t2+4t]12=(23(2)3−3(2)2+4(2))−(23(1)3−3(1)2+4(1))=(163−12+8)−(23−3+4)=(163−4)−(23+1)=16−123−2+33=43−53=−13[\frac{2}{3}t^3 - 3t^2 + 4t]_{1}^{2} = (\frac{2}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 4(2)) - (\frac{2}{3}(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1)) = (\frac{16}{3} - 12 + 8) - (\frac{2}{3} - 3 + 4) = (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} + 1) = \frac{16-12}{3} - \frac{2+3}{3} = \frac{4}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}
(6) ∫−11(u2−u−6)du\int_{-1}^{1} (u^2-u-6) du
まず、積分を計算します。
∫(u2−u−6)du=13u3−12u2−6u+C\int (u^2-u-6) du = \frac{1}{3}u^3 - \frac{1}{2}u^2 - 6u + C
次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端を代入して差を計算します。
[13u3−12u2−6u]−11=(13(1)3−12(1)2−6(1))−(13(−1)3−12(−1)2−6(−1))=(13−12−6)−(−13−12+6)=13−12−6+13+12−6=23−12=2−363=−343[\frac{1}{3}u^3 - \frac{1}{2}u^2 - 6u]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 - 6(1)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 6(-1)) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 = \frac{2}{3} - 12 = \frac{2-36}{3} = -\frac{34}{3}

3. 最終的な答え

(1) 13
(2) -16
(3) 24
(4) −83-\frac{8}{3}
(5) −13-\frac{1}{3}
(6) −343-\frac{34}{3}

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