3次関数 $f(x) = x^3 - x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ と、点 $(1, 0)$ における曲線 $C$ の接線 $l: y = 2(x-1)$、および直線 $x = 3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ と、点 $(1, 0)$ における曲線 $C$ の接線 $l: y = 2(x-1)$、および直線 $x = 3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - x$ と $y = 2(x - 1)$ の交点を求めます。

$x^3 - x = 2(x - 1)$

$x^3 - x = 2x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)^2 (x + 2) = 0$

したがって、$x = 1$ (重解) または $x = -2$ です。

積分範囲は $-2 \leq x \leq 1$ と $1 \leq x \leq 3$ に分かれます。

面積 $S$ は、それぞれの区間で $|f(x) - 2(x - 1)|$ を積分したものの和になります。

区間 $-2 \leq x \leq 1$ では、$2(x-1) \geq x^3 - x$ なので、

$\int_{-2}^1 (2(x - 1) - (x^3 - x)) dx = \int_{-2}^1 (2x - 2 - x^3 + x) dx = \int_{-2}^1 (-x^3 + 3x - 2) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-2}^1 = \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( -\frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 4 \right) = -\frac{3}{4} - (-4 + 6 + 4) = -\frac{3}{4} - 6 = -\frac{27}{4}$

絶対値を取るので、$\frac{27}{4}$

区間 $1 \leq x \leq 3$ では、$x^3 - x \geq 2(x-1)$ なので、

$\int_1^3 (x^3 - x - 2(x - 1)) dx = \int_1^3 (x^3 - x - 2x + 2) dx = \int_1^3 (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_1^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{27}{2} + 6 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) = \frac{80}{4} - \frac{24}{2} + 4 = 20 - 12 + 4 = 12$

したがって、求める面積 $S$ は、$\frac{27}{4} + 12 = \frac{27 + 48}{4} = \frac{75}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$S = \frac{75}{4}$