与えられた積分 $\int \log(x^2 + 1) \, dx$ を計算します。解析学積分部分積分対数関数arctan定積分2025/8/141. 問題の内容与えられた積分 ∫log(x2+1) dx\int \log(x^2 + 1) \, dx∫log(x2+1)dx を計算します。2. 解き方の手順部分積分を用いて計算します。u=log(x2+1)u = \log(x^2 + 1)u=log(x2+1) と dv=dxdv = dxdv=dx とおくと、du=2xx2+1 dxdu = \frac{2x}{x^2 + 1} \, dxdu=x2+12xdx と v=xv = xv=x となります。部分積分の公式 ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du∫udv=uv−∫vdu を用いると、∫log(x2+1) dx=xlog(x2+1)−∫x⋅2xx2+1 dx\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx∫log(x2+1)dx=xlog(x2+1)−∫x⋅x2+12xdx=xlog(x2+1)−∫2x2x2+1 dx= x \log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx=xlog(x2+1)−∫x2+12x2dxここで、2x2x2+1=2(x2+1)−2x2+1=2−2x2+1\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}x2+12x2=x2+12(x2+1)−2=2−x2+12 なので、∫2x2x2+1 dx=∫(2−2x2+1) dx=2x−2∫1x2+1 dx\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = \int \left(2 - \frac{2}{x^2 + 1}\right) \, dx = 2x - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx∫x2+12x2dx=∫(2−x2+12)dx=2x−2∫x2+11dx∫1x2+1 dx=arctan(x)\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x)∫x2+11dx=arctan(x) なので、∫2x2x2+1 dx=2x−2arctan(x)+C\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = 2x - 2 \arctan(x) + C∫x2+12x2dx=2x−2arctan(x)+Cしたがって、∫log(x2+1) dx=xlog(x2+1)−(2x−2arctan(x))+C\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - (2x - 2 \arctan(x)) + C∫log(x2+1)dx=xlog(x2+1)−(2x−2arctan(x))+C=xlog(x2+1)−2x+2arctan(x)+C= x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C=xlog(x2+1)−2x+2arctan(x)+C3. 最終的な答えxlog(x2+1)−2x+2arctan(x)+Cx \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + Cxlog(x2+1)−2x+2arctan(x)+C