与えられた積分 $\int \log(x^2 + 1) \, dx$ を計算します。

解析学積分部分積分対数関数arctan定積分
2025/8/14

1. 問題の内容

与えられた積分 log(x2+1)dx\int \log(x^2 + 1) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。
u=log(x2+1)u = \log(x^2 + 1)dv=dxdv = dx とおくと、
du=2xx2+1dxdu = \frac{2x}{x^2 + 1} \, dxv=xv = x となります。
部分積分の公式 udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du を用いると、
log(x2+1)dx=xlog(x2+1)x2xx2+1dx\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx
=xlog(x2+1)2x2x2+1dx= x \log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx
ここで、2x2x2+1=2(x2+1)2x2+1=22x2+1\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1} なので、
2x2x2+1dx=(22x2+1)dx=2x21x2+1dx\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = \int \left(2 - \frac{2}{x^2 + 1}\right) \, dx = 2x - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx
1x2+1dx=arctan(x)\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) なので、
2x2x2+1dx=2x2arctan(x)+C\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = 2x - 2 \arctan(x) + C
したがって、
log(x2+1)dx=xlog(x2+1)(2x2arctan(x))+C\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - (2x - 2 \arctan(x)) + C
=xlog(x2+1)2x+2arctan(x)+C= x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C

3. 最終的な答え

xlog(x2+1)2x+2arctan(x)+Cx \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C

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