以下の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{3x+1}}{x-1}$

はい、承知いたしました。問題64の(1)と(3)を解きます。

1. 問題の内容

以下の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{3x+1}}{x-1}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$

分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2} \times \frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+1} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)-1}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}$

$x=2$を代入して、

$\frac{1}{\sqrt{2-1}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{x \to 1} \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{3x+1}}{x-1}$

分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 1} \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{3x+1}}{x-1} \times \frac{2\sqrt{x} + \sqrt{3x+1}}{2\sqrt{x} + \sqrt{3x+1}} = \lim_{x \to 1} \frac{4x - (3x+1)}{(x-1)(2\sqrt{x} + \sqrt{3x+1})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(2\sqrt{x} + \sqrt{3x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2\sqrt{x} + \sqrt{3x+1}}$

$x=1$を代入して、

$\frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{3(1)+1}} = \frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{4}} = \frac{1}{2(1) + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{4}$