定積分 $\int_{-1}^{2} (x^4 - x^2 + 1) \, dx$ の値を求めます。

解析学定積分積分
2025/8/16

1. 問題の内容

定積分 12(x4x2+1)dx\int_{-1}^{2} (x^4 - x^2 + 1) \, dx の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分 (x4x2+1)(x^4 - x^2 + 1) を計算します。
x4x^4 の積分は x55\frac{x^5}{5}
x2-x^2 の積分は x33-\frac{x^3}{3}
11 の積分は xx
したがって、
(x4x2+1)dx=x55x33+x+C\int (x^4 - x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C
次に、定積分を計算するために、積分結果に積分範囲の上端 22 と下端 1-1 を代入して、その差を求めます。
[x55x33+x]12=(255233+2)((1)55(1)33+(1))\left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^5}{5} - \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right)
=(32583+2)(15+131)= \left( \frac{32}{5} - \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - 1 \right)
=32583+2+1513+1= \frac{32}{5} - \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + 1
=33593+3=3353+3=335= \frac{33}{5} - \frac{9}{3} + 3 = \frac{33}{5} - 3 + 3 = \frac{33}{5}

3. 最終的な答え

335\frac{33}{5}

「解析学」の関連問題

関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 + x^2 + x + 1$ を満たすとき、$f(1)$ の値を求め、さらに定数 $a$ の値を求めよ。

積分微分定積分関数の決定
2025/8/16

この問題は、以下の2つのパートに分かれています。 パート1:指数関数 $y = 3^x$ のグラフを基準として、以下の関数がどのように移動したものかを説明し、グラフを描画します。 (1) $y = -...

指数関数対数関数グラフ平行移動対称移動
2025/8/16

次の2つの関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 3\sqrt{3}\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ (2) $y = -2\sin{\theta} + \...

三角関数最大値最小値三角関数の合成
2025/8/16

問題1:次の値を求めよ。 (1) $\sin \frac{\pi}{12}$ (2) $\cos \frac{13\pi}{12}$ (3) $\tan \frac{5\pi}{12}$ ...

三角関数加法定理半角の公式三角関数の性質
2025/8/16

与えられた3つの三角関数について、グラフを描き、それぞれの周期を求める問題です。 (1) $y = \cos 3\theta$ (2) $y = \sin \frac{\theta}{2}$ (3) ...

三角関数グラフ周期cossintan
2025/8/16

曲線 $y = \tan x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{4}$) と直線 $x = \frac{\pi}{4}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

定積分面積三角関数置換積分
2025/8/16

与えられた3つの三角関数のグラフを描き、それぞれの周期を求める問題です。 (1) $y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ (2) $y = \frac{1}{2} \ta...

三角関数グラフ周期平行移動振幅
2025/8/16

$0 < a < 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(a^{2n} + a^{3n})$ を求めよ。

極限対数数列関数の極限
2025/8/16

曲線 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x = e$、$x = e^3$、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

積分定積分対数関数面積
2025/8/16

与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to -0} \frac{\sqrt{x^2}}{x}$$

極限絶対値関数の極限
2025/8/16