媒介変数 $t$ で表された関数 $x = -\cos(3t)$, $y = \sin(4t)$ ($0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求めます。 (2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos(4t)\cos(3t) \mp \sin(4t)\sin(3t)$ (複号同順) を利用して、$\sin(4t)\sin(3t)$ を $\cos$ の式で表します。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = -\cos(3t)$, $y = \sin(4t)$ ($0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求めます。

(2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos(4t)\cos(3t) \mp \sin(4t)\sin(3t)$ (複号同順) を利用して、$\sin(4t)\sin(3t)$ を $\cos$ の式で表します。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x = -\cos(3t)$ より $\frac{dx}{dt} = 3\sin(3t)$

$y = \sin(4t)$ より $\frac{dy}{dt} = 4\cos(4t)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4\cos(4t)}{3\sin(3t)}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは $\cos(4t) = 0$ のとき。$0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ より $4t = \frac{\pi}{2}$ なので $t = \frac{\pi}{8}$.

$t = \frac{\pi}{8}$ のとき $y = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

$x = -\cos(3t) = -\cos(3\cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{3\pi}{8})$

増減表は以下の通り。

$t=0$ のとき $x = -1, y = 0$

$t=\frac{\pi}{4}$ のとき $x = 0, y = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4\cos(4t)}{3\sin(3t)}$ なので、$0 < t < \frac{\pi}{8}$ で $\cos(4t) > 0$ かつ $\sin(3t) > 0$ なので $\frac{dy}{dx} > 0$.

$\frac{\pi}{8} < t < \frac{\pi}{4}$ で $\cos(4t) < 0$ かつ $\sin(3t) > 0$ なので $\frac{dy}{dx} < 0$.

よって、$t = \frac{\pi}{8}$ で極大値 $1$ をとります。

(2)

$\cos(4t+3t) = \cos(4t)\cos(3t) - \sin(4t)\sin(3t)$

$\cos(4t-3t) = \cos(4t)\cos(3t) + \sin(4t)\sin(3t)$

辺々引くと

$\cos(7t) - \cos(t) = -2\sin(4t)\sin(3t)$

$\sin(4t)\sin(3t) = \frac{1}{2}(\cos(t) - \cos(7t))$

(3)

$y = \sin(4t)$ であり、$x$ 軸で囲まれる部分の面積は $y > 0$ の部分である。

$y = \sin(4t) = 0$ となるのは $t = 0$ と $t = \frac{\pi}{4}$.

$S = \int_{-1}^{0} y dx = \int_{\pi/4}^{0} \sin(4t) \cdot (3\sin(3t)) dt = -3 \int_{0}^{\pi/4} \sin(4t) \sin(3t) dt$.

$\sin(4t)\sin(3t) = \frac{1}{2}(\cos(t) - \cos(7t))$ より、

$S = -3 \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}(\cos(t) - \cos(7t)) dt = -\frac{3}{2} [\sin(t) - \frac{1}{7}\sin(7t)]_{0}^{\pi/4} = -\frac{3}{2} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{7}\sin(\frac{7\pi}{4}) - (0 - 0)) = -\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{7}(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = -\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{14}) = -\frac{3}{2} (\frac{7\sqrt{2} + \sqrt{2}}{14}) = -\frac{3}{2} (\frac{8\sqrt{2}}{14}) = -\frac{3}{2} (\frac{4\sqrt{2}}{7}) = -\frac{6\sqrt{2}}{7}$.

面積なので絶対値をとり、$S = \frac{6\sqrt{2}}{7} = \frac{3\sqrt{8}}{7}$.

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 7

(3) 6 / 7