極限 $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 6}{x+2}$ が存在するように定数 $a$ の値を定め、極限値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 6}{x+2}$ が存在するように定数 $a$ の値を定め、極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 6}{x+2}$ が存在するためには、分子 $x^2 + ax + 6$ は $x = -2$ のとき 0 になる必要がある。

つまり、

$(-2)^2 + a(-2) + 6 = 0$

$4 - 2a + 6 = 0$

$10 - 2a = 0$

$2a = 10$

$a = 5$

したがって、$x^2 + ax + 6 = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ である。

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 6}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x+3)}{x+2} = \lim_{x \to -2} (x+3) = -2 + 3 = 1$

3. 最終的な答え

$a = 5$

極限値は $1$