$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\cos^2 x$ を半角の公式を使って変形します。

半角の公式は次の通りです。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

これを使って、積分を書き換えます。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$

定数倍の性質より、$\frac{1}{2}$ を積分の外に出します。

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos 2x) \, dx$

積分を分割します。

$\frac{1}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx \right)$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin 0 = \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) = \frac{1}{2}$

これらの結果を代入します。

$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$