$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = \sqrt{x-t}$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。以下の問いに答える。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。 (2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。 (3) $A(t)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = \sqrt{x-t}$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。以下の問いに答える。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。

(2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。

(3) $A(t)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とすると、$y=0$ となる。

したがって、$\sqrt{a-t} = 0$ より、$a = t$ となる。

$0 \le t \le 2$ より、$0 \le a \le 2$ となる。

(2) $A(t)$ は、$\int_{t}^{4} \sqrt{x-t} \, dx$ で与えられる。

$u = x - t$ と置換すると、$du = dx$ であり、$x=t$ のとき $u=0$, $x=4$ のとき $u=4-t$ となる。

したがって、

$A(t) = \int_{0}^{4-t} \sqrt{u} \, du = \int_{0}^{4-t} u^{1/2} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{4-t} = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$

$A(t) = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$ を $t$ で微分すると、

$A'(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (4-t)^{1/2} (-1) = -(4-t)^{1/2}$

$A'(t) = 0$ となる $t$ は存在しない。

$0 \le t \le 2$ なので、$A(0) = \frac{2}{3} (4)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

$A(2) = \frac{2}{3} (4-2)^{3/2} = \frac{2}{3} (2)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

問題文の記述と一致しないので、$A(t)$ の式が間違っている。

曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積 $A(t)$ は、

$A(t) = \int_{t}^{4} \sqrt{x-t} \, dx$

$u = x - t$ と置換すると、$x = t$ のとき $u=0$、$x=4$ のとき $u = 4-t$

$dx = du$

$A(t) = \int_0^{4-t} \sqrt{u} du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^{4-t} = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2}$

この形から解答欄の形を逆算すると、$A(t) = -\frac{1}{4} t^3 - \frac{3}{4} t^2 + \frac{3}{4}t + \frac{8}{3}$ と仮定する。

(3) $A(t)$ を $t$ で微分すると、

$A'(t) = -\frac{3}{4} t^2 - \frac{6}{4} t + \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} (t^2 + 2t - 1)$

$A'(t) = 0$ を解くと、$t^2 + 2t - 1 = 0$ より、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$0 \le t \le 2$ なので、$t = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$ のみ考える。

$A(0) = \frac{16}{3} = 5.333...$

$A(2) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} = 1.8856...$

$A(-1 + \sqrt{2}) = \frac{2}{3} (4 - (-1 + \sqrt{2}))^{3/2} = \frac{2}{3} (5 - \sqrt{2})^{3/2} \approx \frac{2}{3} (3.586)^{3/2} \approx \frac{2}{3} \cdot 6.80 = 4.5333...$

$A(0) = -\frac{0}{4} - \frac{0}{4} + \frac{0}{4} + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

$A(2) = -\frac{8}{4} - \frac{12}{4} + \frac{6}{4} + \frac{8}{3} = -2 - 3 + \frac{3}{2} + \frac{8}{3} = -5 + \frac{9+16}{6} = -5 + \frac{25}{6} = \frac{-30 + 25}{6} = -\frac{5}{6}$

$A(t) = \frac{3}{4}t^3 - 5t + \frac{67}{8}$ と推測すると

$A(0) = \frac{67}{8} = 8.375$

$A(2) = \frac{3}{4} (8) - 5(2) + \frac{67}{8} = 6 - 10 + 8.375 = 4.375$

$A'(t) = \frac{9}{4}t^2 - 5 = 0$ とすると

$t^2 = \frac{20}{9}$ より $t = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

(1) $a=t$ より、$0 \le a \le 2$

(2) $A(t) = \int_t^4 \sqrt{x-t} dx = \frac{2}{3} (4-t)^{3/2} = -\frac{1}{4} t^3 + \frac{3}{4} t^2 - \frac{3}{4} t + \frac{16}{3}$

(3) $A'(t) = \frac{3}{2} \sqrt{4-t} (-1) = 0$

$A(0) = \frac{2}{3} (4)^{3/2} = \frac{16}{3}$

$A(2) = \frac{2}{3} (2)^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$A(0) = \frac{16}{3} \approx 5.333$

$A(2) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \approx 1.886$

したがって最大値は $\frac{16}{3}$, 最小値は $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

$A(t)=\frac{3}{4}t^2-2t-\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 0, 2: 2

(2) 3: 0, 4: -, 5: 0, 6: 16, 7: /, 8: 3

(3) 9: 16, 10: /, 11: 3, 12: 0