定積分 $\int_{-1}^{0} (3x+2)^5 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} (3x+2)^5 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 3x + 2$ と置換します。すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = -1$ のとき、$u = 3(-1) + 2 = -1$

$x = 0$ のとき、$u = 3(0) + 2 = 2$

したがって、積分は

$\int_{-1}^{2} u^5 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} u^5 du$

となります。

$\int u^5 du = \frac{1}{6}u^6 + C$ なので、

$\frac{1}{3} \int_{-1}^{2} u^5 du = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} u^6 \right]_{-1}^{2} = \frac{1}{18} \left[ u^6 \right]_{-1}^{2}$

$= \frac{1}{18} (2^6 - (-1)^6) = \frac{1}{18} (64 - 1) = \frac{63}{18} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$