次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数による置換積分を使って解くことができます。具体的には、$x = 3\sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = 3\cos\theta \, d\theta$ となります。また、積分範囲も変更する必要があります。

* $x = 0$ のとき、$3\sin\theta = 0$ より $\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

* $x = 3$ のとき、$3\sin\theta = 3$ より $\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sqrt{\cos^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos^2\theta \, d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ という公式を使います。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 9 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta$

$\frac{9}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$\frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\frac{9}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right]$

$\frac{9}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right]$

$\frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{4}$