定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ であるから、

$\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1-\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}$

したがって、

$\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx = \int_{1}^{2} (x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) dx$

次に、積分を実行します。

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

よって、

$\int_{1}^{2} (x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) dx = \left[ \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \right]_{1}^{2}$

$=\left( \frac{3}{5} (2)^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} (2)^{\frac{2}{3}} \right) - \left( \frac{3}{5} (1)^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} (1)^{\frac{2}{3}} \right)$

$=\frac{3}{5} (2)^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} (2)^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$

$=\frac{3}{5} (2)^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - \frac{3}{2} (2)^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$

$=(2)^{\frac{2}{3}} (\frac{6}{5} - \frac{3}{2}) - \frac{6}{10} + \frac{15}{10}$

$=(2)^{\frac{2}{3}} (\frac{12-15}{10}) + \frac{9}{10}$

$=-\frac{3}{10} (2)^{\frac{2}{3}} + \frac{9}{10} = \frac{9}{10} - \frac{3}{10} 2^{\frac{2}{3}}$

$=\frac{9 - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{10} = \frac{3(3 - 2^{\frac{2}{3}})}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3(3 - 2^{\frac{2}{3}})}{10}$