(1) 関数 $F(x) = \int_0^x t(t-2) dt$ について、$F'(x)$ を求め、極大値、極小値を与える $x$ の値とそれぞれの極値を求める。 (2) $x \geq 0$ のとき、関数 $G(x) = \int_0^x |t(t-2)| dt$ のグラフの概形を考える。$0 \leq t \leq 2$ のときと、$t \leq 0$, $2 \leq t$ のときの $|t(t-2)|$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_0^x t(t-2) dt$ について、$F'(x)$ を求め、極大値、極小値を与える $x$ の値とそれぞれの極値を求める。

(2) $x \geq 0$ のとき、関数 $G(x) = \int_0^x |t(t-2)| dt$ のグラフの概形を考える。$0 \leq t \leq 2$ のときと、$t \leq 0$, $2 \leq t$ のときの $|t(t-2)|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$F'(x)$ を求める。微積分学の基本定理より、

$F'(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$

したがって、ア = 2。

$F'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, 2$。

$F'(x)$ の符号を調べると、$x < 0$ で $F'(x) > 0$, $0 < x < 2$ で $F'(x) < 0$, $x > 2$ で $F'(x) > 0$ である。

したがって、$x = 0$ で極大値、 $x = 2$ で極小値をとる。

$F(0) = \int_0^0 t(t-2) dt = 0$

$F(2) = \int_0^2 t(t-2) dt = \int_0^2 (t^2 - 2t) dt = [\frac{1}{3}t^3 - t^2]_0^2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$

したがって、イ = 0, ウ = 0, エ = 2, オカ = -4, キ = 3。

(2)

$0 \leq t \leq 2$ のとき、$t(t-2) \leq 0$ より、 $|t(t-2)| = -t(t-2)$。したがって、ク = ②。

$t \leq 0$ または $2 \leq t$ のとき、$t(t-2) \geq 0$ より、 $|t(t-2)| = t(t-2)$。したがって、ケ = ①。

3. 最終的な答え

(1) ア = 2, イ = 0, ウ = 0, エ = 2, オカ = -4, キ = 3

(2) ク = ②, ケ = ①