問題65は、以下の極限に関する等式が成立するように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 4$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x - 2} = -1$ (3) $\lim_{x \to -2} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x+2} = 1$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x-1} = 1$

1. 問題の内容

問題65は、以下の極限に関する等式が成立するように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 4$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x - 2} = -1$

(3) $\lim_{x \to -2} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x+2} = 1$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x-1} = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 4$ の場合：

$x \to 1$ で分母が0に近づくので、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$1^2 + a(1) + b = 0$ より $1 + a + b = 0$。よって $b = -a - 1$。

このとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + a + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + a + 1) = 1 + a + 1 = a + 2$

これが4に等しいので、$a + 2 = 4$ より $a = 2$。

$b = -a - 1$ なので、$b = -2 - 1 = -3$。

したがって、$a=2$, $b=-3$。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x - 2} = -1$ の場合：

$x \to 2$ で分母が0に近づくので、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$2^2 + a(2) + b = 0$ より $4 + 2a + b = 0$。よって $b = -2a - 4$。

このとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 2a - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + a + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + a + 2) = 2 + a + 2 = a + 4$

これが-1に等しいので、$a + 4 = -1$ より $a = -5$。

$b = -2a - 4$ なので、$b = -2(-5) - 4 = 10 - 4 = 6$。

したがって、$a=-5$, $b=6$。

(3) $\lim_{x \to -2} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x+2} = 1$ の場合：

$x \to -2$ で分母が0に近づくので、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$a\sqrt{-2+3} + b = 0$ より $a + b = 0$。よって $b = -a$。

$\lim_{x \to -2} \frac{a\sqrt{x+3}-a}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{a(\sqrt{x+3}-1)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{a(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} = \lim_{x \to -2} \frac{a(x+3-1)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} = \lim_{x \to -2} \frac{a(x+2)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} = \lim_{x \to -2} \frac{a}{\sqrt{x+3}+1} = \frac{a}{\sqrt{-2+3}+1} = \frac{a}{2}$

これが1に等しいので、$\frac{a}{2} = 1$ より $a = 2$。

$b = -a$ なので、$b = -2$。

したがって、$a=2$, $b=-2$。

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}+b}{x-1} = 1$ の場合：

$x \to 1$ で分母が0に近づくので、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$a\sqrt{1+3} + b = 0$ より $2a + b = 0$。よって $b = -2a$。

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3}-2a}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x+3}-2)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{a(x+3-4)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{a}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{a}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{a}{4}$

これが1に等しいので、$\frac{a}{4} = 1$ より $a = 4$。

$b = -2a$ なので、$b = -2(4) = -8$。

したがって、$a=4$, $b=-8$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -3$

(2) $a = -5, b = 6$

(3) $a = 2, b = -2$

(4) $a = 4, b = -8$