座標平面上に $y=x^2$ のグラフ $C$ がある。点 $P(1,1)$ における $C$ の接線と直交する直線を $l_1$ とする。$l_1$ と $C$ の交点のうち、$P$ と異なる点を $Q(a,a^2)$ とする。点 $Q$ における $C$ の接線と直交する直線を $l_2$ とする。$l_2$ と $C$ の交点のうち、$Q$ と異なる点を $R(b,b^2)$ とする。さらに点 $S(k, k^2)$ ($a < k < 1$) を考える。以下の問いに答えよ。 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $\triangle PQR$ の面積を求めよ。 (3) $\triangle PQR$ と $\triangle QRS$ の面積が等しいとき、$k$ の値を求めよ。 (4) $a < k < 1$ の範囲で $k$ が動くとき、$\triangle PQS$ の面積が最大となる $k$ の値と、その最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に $y=x^2$ のグラフ $C$ がある。点 $P(1,1)$ における $C$ の接線と直交する直線を $l_1$ とする。$l_1$ と $C$ の交点のうち、$P$ と異なる点を $Q(a,a^2)$ とする。点 $Q$ における $C$ の接線と直交する直線を $l_2$ とする。$l_2$ と $C$ の交点のうち、$Q$ と異なる点を $R(b,b^2)$ とする。さらに点 $S(k, k^2)$ ($a < k < 1$) を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $\triangle PQR$ の面積を求めよ。

(3) $\triangle PQR$ と $\triangle QRS$ の面積が等しいとき、$k$ の値を求めよ。

(4) $a < k < 1$ の範囲で $k$ が動くとき、$\triangle PQS$ の面積が最大となる $k$ の値と、その最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ である。点 $P(1,1)$ における接線の傾きは $2(1) = 2$ である。

$l_1$ は $P$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線であるから、その方程式は

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

$Q(a,a^2)$ はこの直線上にあるので、

$a^2 = -\frac{1}{2}a + \frac{3}{2}$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$P$ と異なる点 $Q$ の $x$ 座標は $a = -\frac{3}{2}$

点 $Q(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ における接線の傾きは $2(-\frac{3}{2}) = -3$ である。

$l_2$ は $Q$ を通り、傾きが $\frac{1}{3}$ の直線であるから、その方程式は

$y - \frac{9}{4} = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{4}$

$R(b,b^2)$ はこの直線上にあるので、

$b^2 = \frac{1}{3}b + \frac{11}{4}$

$12b^2 - 4b - 33 = 0$

$(2b + 3)(6b - 11) = 0$

$b = -\frac{3}{2}, \frac{11}{6}$

$Q$ と異なる点 $R$ の $x$ 座標は $b = \frac{11}{6}$

(2)

$P(1,1)$, $Q(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$, $R(\frac{11}{6}, \frac{121}{36})$

$\triangle PQR$ の面積は、

$\frac{1}{2} |(1(\frac{9}{4} - \frac{121}{36}) + (-\frac{3}{2})(\frac{121}{36} - 1) + (\frac{11}{6})(1 - \frac{9}{4}))|$

$= \frac{1}{2} |(\frac{81 - 121}{36} + (-\frac{3}{2})(\frac{121 - 36}{36}) + (\frac{11}{6})(\frac{4 - 9}{4}))|$

$= \frac{1}{2} |(-\frac{40}{36} - \frac{3}{2} \cdot \frac{85}{36} + \frac{11}{6} \cdot (-\frac{5}{4}))|$

$= \frac{1}{2} |(-\frac{10}{9} - \frac{255}{72} - \frac{55}{24})|$

$= \frac{1}{2} |(-\frac{80 + 255 + 165}{72})|$

$= \frac{1}{2} |\frac{-500}{72}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{500}{72} = \frac{250}{72} = \frac{125}{36}$

(3)

$P(1,1)$, $Q(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$, $R(\frac{11}{6}, \frac{121}{36})$, $S(k,k^2)$

$\triangle QRS = \frac{1}{2} |(-\frac{3}{2}(\frac{121}{36} - k^2) + \frac{11}{6}(k^2 - \frac{9}{4}) + k(\frac{9}{4} - \frac{121}{36}))|$

$= \frac{1}{2} |-\frac{363}{72} + \frac{3}{2}k^2 + \frac{11}{6}k^2 - \frac{99}{24} + \frac{9}{4}k - \frac{121}{36}k|$

$= \frac{1}{2} |k^2(\frac{3}{2} + \frac{11}{6}) + k(\frac{9}{4} - \frac{121}{36}) + (-\frac{363}{72} - \frac{297}{72})|$

$= \frac{1}{2} |k^2(\frac{9 + 11}{6}) + k(\frac{81 - 121}{36}) - \frac{660}{72}|$

$= \frac{1}{2} |\frac{20}{6}k^2 - \frac{40}{36}k - \frac{55}{6}| = \frac{1}{2} |\frac{10}{3}k^2 - \frac{10}{9}k - \frac{55}{6}|$

$\frac{125}{36} = \frac{1}{2} |\frac{10}{3}k^2 - \frac{10}{9}k - \frac{55}{6}|$

$\frac{250}{36} = |\frac{10}{3}k^2 - \frac{10}{9}k - \frac{55}{6}|$

$\frac{125}{18} = |\frac{10}{3}k^2 - \frac{10}{9}k - \frac{55}{6}|$

$\frac{10}{3}k^2 - \frac{10}{9}k - \frac{55}{6} = \pm \frac{125}{18}$

$60k^2 - 20k - 165 = \pm 125$

$60k^2 - 20k - 165 = 125$

$60k^2 - 20k - 290 = 0$

$6k^2 - 2k - 29 = 0$

$60k^2 - 20k - 165 = -125$

$60k^2 - 20k - 40 = 0$

$3k^2 - k - 2 = 0$

$(3k + 2)(k - 1) = 0$

$k = 1, -\frac{2}{3}$

$a < k < 1$ なので、$a = -\frac{3}{2}$, よって $k = -\frac{2}{3}$ は範囲外

(4)

$P(1,1), Q(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4}), S(k, k^2)$

$\triangle PQS = \frac{1}{2} |1(\frac{9}{4} - k^2) - \frac{3}{2}(k^2 - 1) + k(1 - \frac{9}{4})|$

$= \frac{1}{2} |\frac{9}{4} - k^2 - \frac{3}{2}k^2 + \frac{3}{2} + k - \frac{9}{4}k|$

$= \frac{1}{2} |-\frac{5}{2}k^2 - \frac{5}{4}k + \frac{15}{4}|$

$= \frac{5}{8} |-2k^2 - k + 3| = \frac{5}{8} |-(2k^2 + k - 3)|$

$= \frac{5}{8} |-(2k+3)(k-1)| = \frac{5}{8} |(2k+3)(1-k)|$

$a < k < 1$, $a = -\frac{3}{2}$ なので、$k$ は $-\frac{3}{2} < k < 1$ の範囲を動く

$(2k+3)(1-k) = -2k^2 - k + 3$

平方完成すると $-2(k + \frac{1}{4})^2 + \frac{25}{8}$

最大値は $k = -\frac{1}{4}$ で $\frac{25}{8}$

面積の最大値は $\frac{5}{8} \cdot \frac{25}{8} = \frac{125}{64}$

$-\frac{3}{2} < -\frac{1}{4} < 1$ より $k = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{3}{2}$, $b = \frac{11}{6}$

(2) $\frac{125}{36}$

(3) なし

(4) $k = -\frac{1}{4}$ で最大値 $\frac{125}{64}$