関数 $f(x) = x^2$ において、区間 $[a, a+1]$ での最大値 $M(a)$ が、ある特定の $x$ の値を $f(x)$ に代入した値に等しくなるときの、$x$ の値を求める問題です。ただし、赤色の点線 $x = a + \frac{1}{2}$ は区間の中央を表しています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ において、区間 $[a, a+1]$ での最大値 $M(a)$ が、ある特定の $x$ の値を $f(x)$ に代入した値に等しくなるときの、$x$ の値を求める問題です。ただし、赤色の点線 $x = a + \frac{1}{2}$ は区間の中央を表しています。

2. 解き方の手順

グラフから、$a \le 0$ のとき、区間 $[a, a+1]$ の最大値は $x = a$ でとることが分かります。

つまり、$M(a) = f(a) = a^2$ になります。

$a > 0$ のとき、区間 $[a, a+1]$ の最大値は $x = a+1$ でとることが分かります。

つまり、$M(a) = f(a+1) = (a+1)^2$ になります。

問題文から、$M(a)$ は $f(x)$ に $x = a+\frac{1}{2}$ を代入した値に等しいと書かれているので、

$f(a+\frac{1}{2}) = (a+\frac{1}{2})^2$ となります。

ただし、図から $a$ は負の値であり、 $0 < a+1$ となっているので、$-1 < a < 0$ であることが分かります。

したがって、$M(a) = f(a)$ となるので、

$f(a) = a^2$ と $f(a+\frac{1}{2}) = (a+\frac{1}{2})^2$ が等しくなることはありません。

グラフから $x = a$ において、$M(a) = f(a) = a^2$ となるので、

$M(a) = f(a) = a^2$ であることがわかる。したがって、

$M(a)$ は $f(x)$ に $x=a$ を代入した値に等しい。

3. 最終的な答え

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