与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ に $\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+2}+\sqrt{k})(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k})$

この和は、telescoping sum（隣り合う項で打ち消しあう和）となります。

$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k}) = \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})]$

この和を書き下すと、多くの項が打ち消しあい、最終的に次のようになります。

$\frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}]$

したがって、求める和は $\frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}}{2}$