$f(x) = x^2 - 3x + 2$とするとき、$g(x) = 6 \int_{-1}^{x} f(t) dt$とする。$y = g(x)$のグラフを$C$とする。以下の問いに答えよ。 (1) $g(x)$を求める。 (2) $g(x)$の極大値と極小値を求める。 (3) 傾きが$a$である$C$の接線が1本だけあるときの$a$の値を求め、その接線と$C$の接点の座標と接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 3x + 2$とするとき、$g(x) = 6 \int_{-1}^{x} f(t) dt$とする。$y = g(x)$のグラフを$C$とする。以下の問いに答えよ。

(1) $g(x)$を求める。

(2) $g(x)$の極大値と極小値を求める。

(3) 傾きが$a$である$C$の接線が1本だけあるときの$a$の値を求め、その接線と$C$の接点の座標と接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$g(x)$を求める。

$g(x) = 6 \int_{-1}^{x} (t^2 - 3t + 2) dt$

$g(x) = 6 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t \right]_{-1}^{x}$

$g(x) = 6 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x - (\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} + 2(-1)) \right]$

$g(x) = 6 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x - (-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2) \right]$

$g(x) = 6 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + \frac{2+9+12}{6} \right]$

$g(x) = 6 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + \frac{23}{6} \right]$

$g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 23$

(2) $g'(x)$を求める。

$g'(x) = 6x^2 - 18x + 12$

$g'(x) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x = 2$のとき。

増減表を作成すると、

$x = 1$で極大値、$g(1) = 2 - 9 + 12 + 23 = 28$

$x = 2$で極小値、$g(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 23 = 16 - 36 + 24 + 23 = 27$

(3) $g''(x)$を求める。

$g''(x) = 12x - 18$

$g''(x) = 0$ となるのは、$12x = 18$, $x = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$のとき。

$g'(\frac{3}{2}) = 6(\frac{3}{2} - 1)(\frac{3}{2} - 2) = 6(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

傾きが$a = -\frac{3}{2}$のとき、接線が1本だけとなる。

接点の$x$座標は$\frac{3}{2}$。

接点の$y$座標は、$g(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 9(\frac{3}{2})^2 + 12(\frac{3}{2}) + 23 = 2(\frac{27}{8}) - 9(\frac{9}{4}) + 18 + 23 = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 41 = -\frac{54}{4} + 41 = -\frac{27}{2} + \frac{82}{2} = \frac{55}{2}$

接点の座標は$(\frac{3}{2}, \frac{55}{2})$。

接線の方程式は、$y - \frac{55}{2} = -\frac{3}{2} (x - \frac{3}{2})$

$y = -\frac{3}{2} x + \frac{9}{4} + \frac{55}{2} = -\frac{3}{2} x + \frac{9 + 110}{4} = -\frac{3}{2} x + \frac{119}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 23$

(2) $x = 1$で極大値$28$をとり、$x = 2$で極小値$27$をとる。

(3) 傾きが$a = -\frac{3}{2}$のとき、接線が1本だけである。

この接線と$C$の接点の座標は$(\frac{3}{2}, \frac{55}{2})$であり、この接線の方程式は$y = -\frac{3}{2}x + \frac{119}{4}$である。