関数 $f(x) = e^{-x^2}$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x^2}$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の性質を調べます。

* **偶関数であること:** $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$ なので、$f(x)$ は偶関数です。したがって、$y$ 軸に関して対称なグラフになります。

* **極値の計算:** $f(x)$ の微分を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0$ です。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x = 0$ で極大値を持ちます。

$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$ です。

* **漸近線の確認:** $x \to \pm \infty$ のとき、$x^2 \to \infty$ なので、$-x^2 \to -\infty$ となり、$e^{-x^2} \to 0$ となります。したがって、$x$ 軸（$y=0$）が漸近線です。

* **グラフの形状:**

$x = 0$ で最大値1をとり、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ の値は 0 に近づいていくグラフを描きます。$y$ 軸に関して対称になるようにします。

3. 最終的な答え

$e^{-x^2}$ のグラフは、y軸に関して対称で、x=0で最大値1をとり、x軸が漸近線となる釣鐘型のグラフになります。