放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ 上の点 $(2, 2)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ 上の点 $(2, 2)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線の方程式を求める。

放物線 $y = -x^2 + 3x$ を微分して、

$y' = -2x + 3$

点 $(2, 2)$ における接線の傾きは、

$y'(2) = -2(2) + 3 = -1$

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 2 = -1(x - 2)$

$y = -x + 4$

ステップ2: 接線と $x$ 軸の交点を求める。

接線 $y = -x + 4$ と $x$ 軸 ($y=0$) との交点は、

$0 = -x + 4$

$x = 4$

よって、交点は $(4, 0)$

ステップ3: 放物線と接線の交点を求める。

問題文より、交点は $(2, 2)$

ステップ4: 面積を計算する。

接線と $x$ 軸で囲まれた図形は三角形であり、その面積は、

$S = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$

底辺は、接線と $x$ 軸の交点 $(4, 0)$ から $x = 0$ までの距離で、$4$。

高さは、接線と放物線の接点 $(2, 2)$ の $y$ 座標で、$2$。

したがって、三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4= 8$

接線とx軸とy軸で囲まれた三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

3. 最終的な答え

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