放物線 $C: y = x^2 - 5x$ と、点 $(3, -6)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 5x$ と、点 $(3, -6)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C: y = x^2 - 5x$ の点 $(3, -6)$ における接線 $l$ の方程式を求める。

まず、$y = x^2 - 5x$ を微分すると $y' = 2x - 5$ である。

点 $(3, -6)$ における接線の傾きは $y'(3) = 2(3) - 5 = 1$ となる。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - (-6) = 1(x - 3)$

$y + 6 = x - 3$

$y = x - 9$

となる。

(2) 放物線 $C: y = x^2 - 5x$ と接線 $l: y = x - 9$ および $x$ 軸 $y=0$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

まず、接線 $y = x - 9$ と $x$ 軸との交点を求める。 $x - 9 = 0$ より $x = 9$ である。

次に、放物線 $y = x^2 - 5x$ と $x$ 軸との交点を求める。 $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ より $x = 0, 5$ である。

したがって、求める面積 $S$ は、積分を用いて次のように計算できる。

$S = \int_{0}^{5} |x^2 - 5x| dx + \int_{5}^{9} |x - 9| dx$

$= \int_{0}^{5} (5x - x^2) dx + \int_{5}^{9} (9 - x) dx$

$= [\frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^5 + [9x - \frac{1}{2}x^2]_5^9$

$= (\frac{5}{2}(5^2) - \frac{1}{3}(5^3)) - 0 + (9(9) - \frac{1}{2}(9^2)) - (9(5) - \frac{1}{2}(5^2))$

$= \frac{125}{2} - \frac{125}{3} + 81 - \frac{81}{2} - 45 + \frac{25}{2}$

$= \frac{375 - 250}{6} + 36 + \frac{25 - 81}{2}$

$= \frac{125}{6} + 36 - \frac{56}{2}$

$= \frac{125}{6} + 36 - 28$

$= \frac{125}{6} + 8$

$= \frac{125 + 48}{6} = \frac{173}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{173}{6}$