与えられた関数の左極限を求めます。 $$ \lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1} $$

1. 問題の内容

与えられた関数の左極限を求めます。

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\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1}

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2. 解き方の手順

$x \to 1-0$ は、$x$ が $1$ より小さい側から $1$ に近づくことを意味します。したがって、$x < 1$ です。

このとき、$x - 1 < 0$ となるので、$|x - 1| = -(x - 1)$ となります。

よって、

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\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{-(x-1)}{x-1}

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ここで、$x \ne 1$ なので、$x-1 \ne 0$ です。したがって、約分できます。

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\lim_{x \to 1-0} \frac{-(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} (-1) = -1

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1} = -1

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