次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1}$

2. 解き方の手順

$x \to 1-0$ は、$x$ が $1$ より小さい側から $1$ に近づくことを意味します。

したがって、$x < 1$ であるため、$x-1 < 0$ となります。

絶対値の定義より、 $x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$ です。

よって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{-(x-1)}{x-1}$

$x \neq 1$ であるため、$x-1$ で約分できます。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{-(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} -1$

定数の極限は定数そのものです。

$\lim_{x \to 1-0} -1 = -1$

3. 最終的な答え

-1