放物線 $C: y=x^2$ と点 $(1, 1)$ における $C$ の接線 $l$、および2直線 $x=-1$, $x=3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y=x^2$ と点 $(1, 1)$ における $C$ の接線 $l$、および2直線 $x=-1$, $x=3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ における接線 $l$ の方程式を求める。

$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ である。

$x = 1$ における接線の傾きは $y'(1) = 2(1) = 2$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は $y - 1 = 2(x - 1)$ と表せる。これを整理すると、

$y = 2x - 1$

ステップ2: 求める面積 $S$ を積分で表す。

面積 $S$ は $x=-1$ から $x=3$ の範囲で、放物線 $y = x^2$ と接線 $y = 2x - 1$ で囲まれる部分の面積である。

したがって、積分を用いて次のように表せる。

$S = \int_{-1}^{3} |x^2 - (2x - 1)| dx = \int_{-1}^{3} |x^2 - 2x + 1| dx$

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \ge 0$ であるから、絶対値記号は不要である。

$S = \int_{-1}^{3} (x - 1)^2 dx$

ステップ3: 積分を計算する。

$S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_{-1}^{3}$

$S = (\frac{1}{3}(3^3) - 3^2 + 3) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + (-1)) = (9 - 9 + 3) - (-\frac{1}{3} - 1 - 1) = 3 - (-\frac{7}{3}) = 3 + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$