放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、放物線 $C$ の式 $y = -x^2 + 3x$ を $x$ で微分する。

$\frac{dy}{dx} = -2x + 3$

点 $(2, 2)$ における接線の傾き $m$ は、$\frac{dy}{dx}$ に $x = 2$ を代入して求める。

$m = -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1$

したがって、接線 $l$ の方程式は、点 $(2, 2)$ を通り、傾き $-1$ の直線であるから、

$y - 2 = -1(x - 2)$

$y = -x + 2 + 2$

$y = -x + 4$

ステップ2: 放物線 $C$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = -x^2 + 3x = 0$ を解く。

$-x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

したがって、放物線 $C$ と $x$ 軸との交点は $(0, 0)$ と $(3, 0)$ である。

ステップ3: 接線 $l$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = -x + 4 = 0$ を解く。

$x = 4$

したがって、接線 $l$ と $x$ 軸との交点は $(4, 0)$ である。

ステップ4: 求める面積 $S$ を計算する。

面積 $S$ は、放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積から、接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を引いたものと考えることができる。ただし、$x=2$を境に接線と放物線の位置関係が変わるので注意する。

放物線 $C$ と $x$ 軸の区間 $[0,3]$ で囲まれる面積は、

$\int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$

接線 $l$ と $x$ 軸の区間 $[2, 4]$ で囲まれる面積は、

$\int_{2}^{4} (-x + 4) dx = \left[-\frac{1}{2}x^2 + 4x\right]_{2}^{4} = (-\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4)) - (-\frac{1}{2}(2)^2 + 4(2)) = (-8 + 16) - (-2 + 8) = 8 - 6 = 2$

放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる区間 $[2,3]$ の面積を求める。

$\int_{2}^{3} ((-x^2 + 3x) - (-x + 4)) dx = \int_{2}^{3} (-x^2 + 4x - 4) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4x\right]_{2}^{3}$

$= (-\frac{1}{3}(3)^3 + 2(3)^2 - 4(3)) - (-\frac{1}{3}(2)^3 + 2(2)^2 - 4(2)) = (-9 + 18 - 12) - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) = -3 + \frac{8}{3} = -\frac{1}{3}$

面積は正なので $\frac{1}{3}$

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx - 2 * (1/2) * 1 * 1 = (9/2) - 1 = \frac{10}{3}$

$S = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$