3次関数 $f(x) = x^3 - x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(1, 0)$ における $C$ の接線 $l: y = 2(x - 1)$、および直線 $x = -1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$x \ge -1$ の範囲とします。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(1, 0)$ における $C$ の接線 $l: y = 2(x - 1)$、および直線 $x = -1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$x \ge -1$ の範囲とします。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = f(x)$ と接線 $y = 2(x - 1)$ の交点を求めます。

$x^3 - x = 2(x - 1)$

$x^3 - x = 2x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$

したがって、交点は $x = 1$ (重解) と $x = -2$ です。しかし、$x \ge -1$ の範囲なので、$x = -2$ は考慮しません。

次に、積分範囲を考えます。直線 $x = -1$ から、$y = f(x)$ と $y = 2(x - 1)$ の交点 $x = 1$ まで積分します。

$S = \int_{-1}^1 |f(x) - 2(x - 1)| dx$

$S = \int_{-1}^1 |x^3 - x - 2x + 2| dx$

$S = \int_{-1}^1 |x^3 - 3x + 2| dx$

区間 $[-1, 1]$ で $x^3 - 3x + 2 \ge 0$ であることを確認します。 $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ より、区間 $[-1, 1]$ で $x^3 - 3x + 2 \ge 0$ は成立します。したがって、絶対値を外すことができます。

$S = \int_{-1}^1 (x^3 - 3x + 2) dx$

$S = [\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_{-1}^1$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2)$

$S = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2$

$S = 4$

3. 最終的な答え

$S = 4$