関数 $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

2. 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補となる点です。

3. 求めた $x$ の値に対して、さらに2階微分 $f''(x)$ を計算し、その符号を調べます。$f''(x) > 0$ ならば極小、$f''(x) < 0$ ならば極大です。$f''(x) = 0$ ならば、その点では極値を持たないか、またはより高次の微分を調べる必要があります。

4. 極大・極小となる $x$ の値を元の関数 $f(x)$ に代入して、極大値・極小値を計算します。

手順1: 微分

$f(x) = 2x^3 - 6x + 1$ を微分すると、

$$f'(x) = 6x^2 - 6$$

手順2: $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める

$f'(x) = 6x^2 - 6 = 0$ より、

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

手順3: 2階微分を計算し、符号を調べる

$f'(x) = 6x^2 - 6$ を微分すると、

$$f''(x) = 12x$$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 12(1) = 12 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値をとります。

$x = -1$ のとき、$f''(-1) = 12(-1) = -12 < 0$ なので、$x = -1$ で極大値をとります。

手順4: 極大値・極小値を計算する

$f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3$

$f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$

3. 最終的な答え

$x = 1$ で極小値 $-3$ をとる。

$x = -1$ で極大値 $5$ をとる。