$\int x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = x$、$dv = \sin x \, dx$ とおきます。

すると、$du = dx$、$v = \int \sin x \, dx = -\cos x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$

$= -x \cos x + \int \cos x \, dx$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$ なので、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

3. 最終的な答え

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$