正の実数 $a$ が与えられたとき、2つの曲線 $C_1: y = x^3 + 2ax^2$ と $C_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a}$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ が与えられたとき、2つの曲線 $C_1: y = x^3 + 2ax^2$ と $C_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a}$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ 上の点 $(t, t^3 + 2at^2)$ における接線を求める。

$y' = 3x^2 + 4ax$ より、接線の傾きは $3t^2 + 4at$ となる。したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 + 2at^2) = (3t^2 + 4at)(x - t)$

$y = (3t^2 + 4at)x - 3t^3 - 4at^2 + t^3 + 2at^2$

$y = (3t^2 + 4at)x - 2t^3 - 2at^2$

次に、この接線が $C_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a}$ にも接するようにする。

$3ax^2 - \frac{3}{a} = (3t^2 + 4at)x - 2t^3 - 2at^2$

$3ax^2 - (3t^2 + 4at)x + 2t^3 + 2at^2 - \frac{3}{a} = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることである。

$D = (3t^2 + 4at)^2 - 4(3a)(2t^3 + 2at^2 - \frac{3}{a}) = 0$

$9t^4 + 24at^3 + 16a^2t^2 - 24at^3 - 24a^2t^2 + 36 = 0$

$9t^4 - 8a^2t^2 + 36 = 0$

$9t^4 - 8a^2t^2 + 36 = 0$ を $t^2$ について解く。

$t^2 = \frac{8a^2 \pm \sqrt{64a^4 - 4(9)(36)}}{18} = \frac{8a^2 \pm \sqrt{64a^4 - 1296}}{18} = \frac{4a^2 \pm \sqrt{16a^4 - 324}}{9}$

$t^2$ が実数であるためには、$16a^4 - 324 \ge 0$ である必要があるので、$16a^4 \ge 324$ より、$a^4 \ge \frac{324}{16} = \frac{81}{4}$ となる。

$a^2 \ge \frac{9}{2}$ より、$a \ge \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ ($a$ は正の実数より)

$t^2$ は正の実数である必要がある。

$t^2 = \frac{4a^2 \pm \sqrt{16a^4 - 324}}{9} > 0$

$16a^4 - 324 \ge 0$ より、$a^4 \ge \frac{81}{4}$

$a \ge \frac{3}{\sqrt{2}}$ より、$4a^2 > \sqrt{16a^4 - 324}$ が成り立つ。

ゆえに、求める $a$ の範囲は $a \ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$